Description

Un mailleur d'objet transforme un domaine réel complexe en une union de domaines à simple topologie où les fonctions d'interpolation Ni sont connues. Les methodes de maillage sont tres nombreuses. Elles sont classées en 4 groupes :

• les methodes manuelles sont historiquement les premieres methodes employees. L'utilisateur entre de facon interactive les coordonnees de tous les noeuds puis la connexion de ceux-ci afin de former les mailles. Des outils empruntes a la CAO permettent neanmoins de generer des parties de maillage par deduction d'une autre partie. Ces outils sont principalement la translation, la duplication, la rotation, l'etirement.

• les methodes semi-automatiques consistent à subdiviser grossierement de facon manuelle. Chaque maille est ensuite divisee automatiquement en une serie de mailles acceptables pour la methode des elements finis. Ces methodes ne sont qu'une acceleration du processus manuel. Elles ne peuvent pas conduire a une automatisation complete puisqu'elles reposent sur des operations manuelles.

• les methodes dediees sont d'une grande utilite pour ceux qui travaillent toujours a l'aide d'une meme famille de pieces. En effet ces methodes sont capables de mailler entierement automatiquement la famille de pieces. Elles sont souvent incluses dans un logiciel de calcul par elements finis dedie.

• les methodes automatiques consistent à mailler completement un domaine de facon entierement automatique a partir des seules donnees de sa definition geometrique et d'un facteur de precision souhaite.

    Pour MAGiC, seules les methodes de la quatrième catégorie sont intérressantes.

    En fait, il existe plusieurs problématiques de maillage : maillage des arêtes (entités 1D) , maillage des faces (entités 2D), maillage des volumes (entités 3D). Pour réaliser le maillage automatique d'un modèle complet tridimensionnel, une succession de ces phases, différente selon la méthode employée est nécessaire. Pour le cas des entités 2D ou 3D, ce sont les mêmes concepts qui s'emploient. Pour le cas des arêtes, une technique particulière propre à cette dimension est utilisée. Malheureusement ce dernier cas est fort peu relaté dans la littérature. Une méthode propre qui donne le résultat optimal a été développée (Voir rubrique publication).

Les méthodes de maillage automatique

Notre classification comporte trois familles de méthodes qui se distinguaient historiquement par la façon d'aborder deux difficultés :

• la détermination de la position des noeuds : c'est l'aspect géométrique.
• la détermination de la connexion des noeuds : c'est l'aspect topologique.

    La première famille de méthodes repose sur la génération de la topologie du maillage et son adaptation à la géométrie du modèle. On y retrouve par exemple les méthodes de décomposition spatiale. La deuxième famille de méthodes consiste à générer les noeuds avant de les connecter. Ces méthodes sont les méthodes dites de Delaunay-Voronoï. Leur principe est fondé sur l'insertion des noeuds un par un dans le maillage en respectant à chaque étape le critère de Delaunay. La dernière famille consiste à générer simultanément les noeuds et les mailles. Les méthodes frontales entrent dans cette catégorie. Les mailles sont créées itérativement à partir d'un front, qui est au départ la frontière du domaine à mailler. Le processus s'arrête quand le front est vide.

Figure 1 : La méthode de décomposition spatiale


Figure 2 : L'insertion de noeuds selon le principe de Delaunay

 

    Les méthodes frontales ont souvent été décrites en 2D. Peu de chercheurs ont réussi à les mener à bien en 3D. La raison repose essentiellement sur le fait que cette méthode est fortement empirique. Contrairement aux méthodes de type Delaunay-Voronoï fondées sur une formulation mathématique, les méthodes frontales sont intuitives. L'idée est de mailler le domaine par itérations successives en faisant propager vers l'intérieur un front initialisé sur la frontière du domaine, jusqu'à son recouvrement complet. Le problème majeur survient lors de la rencontre du front avec lui-même. Tant qu'il peut progresser librement, la méthode se déroule sans problème. Dès que le front se rencontre, la méthode se heurte à différents cas de figure à résoudre. En 2D, ces cas sont relativement peu nombreux et faciles à résoudre. En 3D, il n'en est pas de même. Un blocage complet du processus peut survenir. La convergence de l'algorithme itératif se révèle être la principale difficulté en 3D. Néanmoins, l'algorithme peut se décrire simplement :

1. Initialisation du front sur la frontière. Le front est constitué de segments en 2D et de triangles en 3D.
2. Mise en ordre du front
3. Sélection du premier élément du front (élément candidat)
4. Calcul de la position du noeud idéal
5. Recherche des noeuds proches de ce noeud idéal

• Classement des noeuds sélectionnés
• Création d'un élément valide avec le premier noeud qui le permet
• Mise à jour du front
• Si le front n'est pas vide retour en 3

L'algorithme paraît simple. Toutefois, l'incertitude relative à la convergence du processus empêche la détermination systématique d'une solution :

• l'étape 2 est réalisée sans aucune règle théorique. L'ordre dans lequel est trié le front est tout à fait lié au programmateur jusqu'à tel point que l'on peut trouver des règles de tri complètement inverses selon les différents cas : il s'agit du premier caractère empirique de la méthode.

• l'étape 4 peut être réalisée de différentes manières selon que l'on cherche à obtenir un bon maillage ou selon que l'on cherche une convergence certaine. Il est notamment utile d'anticiper la rencontre du front afin d'augmenter les chances de convergence. Une solution possible est de calculer la position du noeud idéal à l'aide de deux facteurs . Le premier, local, permet de prendre en compte la forme de l'élément. Le second, global, permet de prendre en compte la rencontre du front. Cette notion est le deuxième caractère empirique de la méthode.

• le classement de l'étape 6, comme celui de l'étape 2, n'obéit à aucune règle mathématique. Ceci constitue le troisième caractère empirique de la méthode.

• le problème de l'étape 7 est crucial. Que faire si aucun noeud sélectionné ne permet de construire un élément valide ? Une règle doit être mise au point afin de répondre à ce problème, ce qui constitue le quatrième caractère empirique de la méthode. Le calcul de la validité d'un élément est une autre source d'erreur. En effet, il s'agit de déterminer précisément si la maille créée n'intersecte pas un élément du front.

Malgré ces problèmes, la méthode frontale présente des avantages non négligeables :

• le processus étant initialisé avec la frontière, celle-ci est par définition même conservée.
• la modification locale d'un maillage est possible en détruisant des mailles et en reconstituant un front. Un quelconque remaillage est alors envisageable pour améliorer la qualité du maillage ou dans le cas d'un changement local de géométrie du modèle.
• l'anisotropie peut être prise en compte directement lors du calcul de la position du noeud, en utilisant une métrique adaptée au problème anisotrope.

Les solutions aux divers problèmes sont explicitement démontrés dans les diverses publications. le processus étant initialisé avec la frontière, celle-ci est par définition même conservée.

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